Los sistemas de aguas someras son modelos simplificados para la simulación de flujos con superficie libre. Se obtienen a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles con frontera libre, mediante un proceso de integración vertical, que permite reducir a dos las variables independientes espaciales. La hipótesis básica es que la dimensión característica del fluido en la dirección vertical es mucho menor que en las horizontales. Bajo ciertas hipótesis de pequeñez sobre los términos de viscosidad horizontales, los sistemas que se obtienen tras este proceso pueden ser formulados como sistemas de leyes de conservación con término fuente. Estos términos pueden servir para representar los efectos de la fricción con el fondo y las paredes, o en el caso de canales o estrechamientos, representar los efectos de la geometría del canal sobre el flujo.

Los modelos de aguas someras son muy utilizados en la práctica para la simulación de flujos geofísicos,  en los que la hipótesis de la pequeñez de la dimensión vertical sobre las horizontales se da con frecuencia. Este uso frecuente es debido, en primer lugar, al menor coste computacional que presentan en comparación con los modelos basados en las ecuaciones de Navier-Stokes 3D con superficie libre y, en segundo lugar, por los excelentes resultados que proporcionan, incluso en casos en los que las bases teóricas del modelo no permitirían esperarlo. Fenómenos de tanto interés como inundaciones o tsunamis pueden ser simulados adecuadamente con este tipo de modelos.

No obstante los modelos clásicos de aguas someras no son aplicables para flujos estratificados. Para simular este tipo de flujos es necesario considerar al menos dos capas de fluido de densidades diferentes. Si se supone, en primera aproximación, que dichas capas son inmiscibles es posible aplicar el proceso de obtención de sistemas de aguas someras a las ecuaciones que gobiernan el flujo de cada capa, obteniéndose así un par de sistemas de aguas someras acoplados. Desde el punto de vista matemático, el sistema que se obtiene tiene la estructura de un sistema acoplado de leyes de conservación con términos fuentes y productos no conservativos. A pesar de su relativa simplicidad, este tipo de modelos ha permitido  interpretar el funcionamiento hidráulico de estrechos oceánicos y estuarios (véase p. ej. [4]),  simulando correctamente alguno de los fenómenos característicos, como son la aparición de ondas de choque en la interfaz (bores internos) .

En el contexto de los modelos de aguas someras, surgen nuevos sistemas acoplados de leyes de conservación con término fuente cuando se simula una lámina de agua que fluye sobre un fondo compuesto por sedimentos, que se pueden mover debido a la acción del propio fluido. Puede ocurrir, además, que una parte de estos sedimentos pase a ser transportada por el fluido y que, eventualmente, puedan volver a sedimentar. En estos casos,  es necesario añadir al sistema de ecuaciones que rigen el movimiento del agua la ecuación o ecuaciones que modelen el movimiento del fondo sedimentario,  como pueden ser las dadas por el modelo de Meyer-Peter-Müller ([20], [26]-[28] ). Recientemente, en la tesis doctoral realizada por  Ana Ferreiro Ferreiro (véase [11]) y dirigida por dos miembros del equipo investigador, se ha realizado un estudio exhaustivo de modelos de arrastre de sedimentos, unificando su formulación y proponiendo varios esquemas numéricos para la resolución de los mismos. Si bien este tipo de sistemas son ampliamente utilizados en el ámbito de la ingeniería, dando buenos resultados para canales con pendientes suaves, su principal desventaja es que no contemplan los efectos gravitacionales sobre el estrato de sedimentos.

En el contexto de flujos granulares para la simulación de avalanchas se han propuesto una serie de modelos denominados “de aguas someras-Savage-Hutter” (véase [25], [2] y [15]). Desde el punto de vista matemático, los sistemas que se obtienen tienen la estructura de un sistema de leyes de conservación con términos fuentes. La gran ventaja de este tipo de modelos frente a los anteriores es que, en primer lugar, tienen en cuenta los efectos gravitacionales sobre la capa de sedimentos. Además, en ellos se relajan las restricciones sobre la variación de la topografía, permitiéndose que los sedimentos se desplacen sobre fuertes pendientes, obteniéndose resultados relevantes en la simulación avalanchas.

Recientemente, E. F. Nieto  (véase [12]) ha obtenido un nuevo modelo para la simulación de un fluido estratificado compuesto por dos flujos inmiscibles, el superior corresponde a la lámina de agua que fluye sobre un estrato de sedimentos que se supone regido por un modelo de tipo aguas someras-Savage-Hutter, que a su vez se desliza sobre un lecho rocoso inmóvil no necesariamente “suave”. El sistema que se obtiene, desde el punto de vista matemático, es nuevamente un sistema acoplado de leyes de conservación con términos fuentes.

La aproximación numérica de sistemas hiperbólicos no conservativos como los citados anteriormente, es decir, aquéllos en los que aparecen términos que no pueden ser escritos como divergencia de un flujo, presenta numerosas dificultades y el uso de los métodos numéricos usuales para sistemas hiperbólicos conservativos (véase [1] y su bibliografía) pueden producir soluciones numéricas erróneas, si la discretización de dichos términos no es llevada a cabo de una forma conveniente. Así ocurre con los sistemas de leyes de conservación con términos fuente o en sistemas de leyes de conservación acoplados, donde los términos de acoplamiento tienen una estructura de producto no conservativo, esto es, términos que involucran productos de incógnitas por derivadas de incógnitas.  En [7] se puso de manifiesto que, si estos productos no son discretizados convenientemente, la aplicación de un esquema estable a cada una de las leyes de conservación implicada puede conducir a un método incondicionalmente inestable.
Una posible estrategia para obtener métodos numéricos explícitos que traten adecuadamente estos problemas consiste en extender a este caso más general los métodos basados en resolvedores de Riemann exactos o aproximados para problemas hiperbólicos conservativos. No obstante, en este caso los problemas de Riemann que se consideran están asociados a sistemas hiperbólicos no conservativos, lo que añade importantes dificultades teóricas y numéricas, empezando por la propia definición de solución débil. En [22] se presentó el concepto de esquema numérico camino-conservativo (path-conservative) para sistemas hiperbólicos casi-lineales unidimensionales, que es una generalización natural del de esquema conservativo para sistemas de leyes de conservación. Se daban además indicaciones generales sobre cómo construir esquemas de este tipo basados en resolvedores de Riemann exactos o aproximados. Finalmente, se presentaba un marco general para la construcción de esquemas de alto orden bien equilibrados basados en operadores de reconstrucción de estados.

En los casos particulares de sistemas acoplados de leyes de conservación con término fuente asociados a sistemas de aguas someras, además de las dificultades anteriores, aparecen algunas dificultades específicas, como son:

• Aparición de frentes seco-mojado, es decir, las fronteras que separan zonas del dominio de cálculo en las que una o más capas de agua desaparecen ([6]).
• En el caso de flujos compuestos por más de una capa, el sistema puede perder el carácter hiperbólico por aparición de valores propios complejos. Estas situaciones se corresponden con el desarrollo de inestabilidades de Kelvin-Helmholtz en la interfaz entre las capas.
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  Fuerza de Coriolis. A pesar de su simplicidad, la presencia de este término induce en las ecuaciones un carácter dispersivo que hace imprescindible el uso de técnicas numéricas adecuadas, a fin de poder simular fenómenos tales como el ajuste geostrófico.